The Kristensen and Mele (2011) approach to approximating derivative prices in continuous-time models

Abstract

In 2011, Kristensen and Mele developed an approximation method for European-style option pricing models that do not admit closed-form solutions. For that, this method is based on the use of a simpler auxiliary model, around which the main model, which does not offer these closed-form solutions, is expanded and, through this expansion and eventual calibrations, a closed-form approximate solution for the option price is obtained, whose accuracy progressively improves depending on the chosen auxiliary model. This method stands out for being simple to implement and for allowing fast and highly accurate approximations, in addition to its versatility, since the methodology can also be applied to various contexts, such as the calculation of Greeks or in option pricing under constant or stochastic volatility settings. This dissertation aims to study in detail the approximation method developed by Kristensen and Mele (2011), doing a brief literary comparison of other widely used methods and, afterwards, performing an analytical review of the results obtained from its implementation against the chosen benchmarks, in order to evaluate its performance and understand how this method distinguishes itself from existing alternatives. Additionally, it was also implemented a calibration function suggested by the authors in order to increase its precision and evaluate if this effectively improves the performance compared to the results obtained in their original paper and, unlike the authors, this method was applied to the standard Constant Elasticity of Variance model, since in the original work it was applied with a mean- reverting process.

Em 2011, Kristensen e Mele desenvolveram um método de aproximação para modelos de avaliação de opções europeias que não admitem soluções em forma fechada. Este método baseia-se na utilização de um modelo auxiliar mais simples, em torno do qual o modelo principal, que não apresenta solução fechada, é expandido e, através desta expansão e eventuais calibrações, obtém-se uma solução aproximada para o preço da opção, cuja precisão melhora progressivamente e dependendo do modelo auxiliar escolhido. Este método distingue-se por ser simples de implementar e por permitir obter aproximações rápidas e de elevada precisão, para além da sua transversalidade, uma vez que esta metodologia pode ser aplicada em diferentes contextos, tais como no cálculo dos Gregos ou na avaliação de opções assumindo volatilidade constante ou estocástica. Esta dissertação tem como objetivo estudar detalhadamente o método de aproximação desenvolvido por Kristensen e Mele (2011), fazendo uma breve comparação literária com outros métodos bastante utilizados e, de seguida, realizar uma análise dos resultados obtidos da sua implementação face aos benchmarks escolhidos, de forma a avaliar o seu desempenho e a compreender como este método se destaca relativamente às suas alternativas. Adicionalmente, foi também implementada uma função de calibração sugerida pelos autores para aumentar a precisão dos resultados e avaliar se esta permite efetivamente melhorar a performance relativamente aos resultados obtidos na sua publicação original e, contrariamente aos autores, este método foi aplicado ao modelo padrão de variância com elasticidade constante, visto que originalmente foi aplicado com um processo de reversão à média.