Barrier options and dynamic debt

Abstract

This thesis focuses on dynamic debt credit risk modeling, emphasizing the use of barrier options. It starts by obtaining the price for multiple barrier options under the JDCEV (jump to default constant elasticity of variance) model. The multiple barrier options depart from the single barrier options. In the single barrier case, the owner has vanilla option contingent on the underlying asset price crossing or not the given barrier. In the multiple barrier options, presented here as in Jun and Ku (2012), a single barrier option is activated once a set of barriers is crossed. The solution of these options under the JDCEV model relies on the ST (stopping time) approach for barrier options developed by Dias et al. (2015). Then, in the second part, the payoff of the multiple barrier put options is used to extend the dynamic debt model of Das and Kim (2015) to the CEV (constant elasticity of variance) model. The dynamic debt model allows a given firm to increase or decrease the face value of debt in a given sequence, provided that certain barriers are crossed by the total firm value. This feature allows the use of barrier options’ formulae to solve the debt value and respective spreads. In the third part, another dynamic debt model where the debt can change is explored. There, debt can change, but through an intensity process. This process can be linked to the firm value through correlation among the stochastic processes. Through measure changes, the closed formulae are obtained for the model under the geometric Brownian motion (GBM) setting. In addition to extending the baseline Merton (1974) model, there is also a an extension of the subordinated debt model from Gorton and Santomero (1990).

Esta tese foca-se na modelização de risco de crédito num modelo dinâmico, enfatizando o uso de opções barreira. Começa por obter o preço de opções com múltiplas barreiras sob o modelo JDCEV ("jump to default constant elasticity of variance"). As opções com múltiplas barreiras partem das opções com uma barreira. No caso de uma barreira, o seu detentor tem uma opção "vanilla" contingente do preço do ativo subjacente atravessar ou não a dada barreira. No caso de barreiras múltiplas, apresentado aqui tal como em Jun and Ku (2012), uma opção de uma barreira é ativada assim que um conjunto de barreiras é atravessado. A solução dessas opções sob o modelo JDCEV assenta na "stopping time approach" (ST) para opções barreira desenvolvida por Dias et al. (2015). Depois, na segunda parte, o "payoff" das opções put com múltiplas barreiras é utilizado para estender o modelo de dívida dinâmica de Das and Kim (2015) para o modelo CEV ("contant elasticity of variance"). O modelo de dívida dinâmica permite a uma firma aumentar ou diminuir o valor nominal da dívida numa dada sequência, desde que determinadas barreiras sejam atravessadas pelo valor total da firma. Esta característica permite o uso de opções barreira para obter o valor da dívida e dos respetivos "spreads". Na terceira parte, um outro modelo de dívida dinâmica onde o valor da dívida pode ser alterado é explorado. Neste, o valor da dívida pode ser alterado, mas através de um "intensity process". Este processo pode ser ligado ao valor da firma através da correlação de processos estocásticos. Através de mudançaas de medida, as fórmulas fechadas para este modelo são obtidas no "geometric Brownian motion" (GBM). Além de estender o modelo base de Merton (1974), também é feita uma extensão do modelo de dívida subordinada de Gorton and Santomero (1990).