Análise assintótica de opções no modelo de volatilidade estocástica α-hipergeométrico

Abstract

Os modelos de volatilidade estocástica revelam, como contrapartida do seu maior realismo, uma maior dificuldade em estabelecer f´ormulas simples para o preço de opções europeias. O problema de encontrar o preço destes derivados pode ser formulado por uma equação diferencial parcial de segunda ordem. Através da perturbação do driver de volatilidade do modelo, é possível alterar ligeiramente o problema por forma a encontrar uma aproximação simples da sua solução como uma soma de potências de um dado parâmetro perturbativo. Nesta tese procurámos, seguindo resultados conhecidos da teoria de perturbação, desenvolver fórmulas simples de aproximação do preço de opções put e da curva de volatilidade implícita no contexto do modelo α-hipergeométrico. Para desenvolver estas aproximações para o modelo α-hipergeométrico, começámos por estudar o seu driver de volatilidade. Encontrámos uma distribuição invariante para esse processo e provámos a sua unicidade e reversibilidade dentro do conjunto das medidas que admitem uma função densidade suave. Foram estas propriedades que permitiram a utilização de resultados conhecidos para as derivações das aproximações do preço. Pela relevância que o espectro de um operador tem para o entendimento da sua ação no espaço em que opera, iniciámos também o estudo espectral do gerador infinitesimal do processo de volatilidade. Daí, estabelecemos uma fórmula geral para as funções próprias desse gerador e derivámos algumas desigualdades com vista a tentar enquadrar o seu espectro real num determinado intervalo. Por fim, determinámos fórmulas simples de primeira e segunda ordens para o preço das opções e da volatilidade implícita do modelo, como pretendíamos, oferecendo também representações gráficas ilustrativas para um dado conjunto de parâmetros. Discutimos ainda de forma breve a aproximação do preço de opções americanas através de um método de aleatorização da maturidade, que se torna possível após a já referida determinação da distribuição invariante para a volatilidade deste modelo.

Stochastic volatility models are more realistic, yet the difficulty of establishing a simple pricing formula for european options is a major drawback. The problem of pricing this derivatives can be formulated by a partial differential equation of second order. By perturbing the model’s volatility driver it is possible to slightly alter the problem in order to find a simple approximation of its solution as a finite power series of the perturbation parameter. In this thesis, following known results of perturbation theory, we tried to develop simple approximations for both put option prices and implied volatility curves in the α-hypergeometric model. With the development of this approximations for the α-hypergeometric model in sight, we started by studying its volatility driver. We found an invariant distribution for that process and proved its uniqueness and reversibility within the set of measures which admit a smooth density function. Those were the properties which allowed the use of known results for the derivation of price approximations. Because of the relevance that an operator’s spectrum has to the comprehension of its action in the space where it operates, we initiated the spectral analysis of the volatility process’ infinitesimal generator. From these study we established a general formula for the eigenfunctions of that generator and derived some inequalities in the intent of finding an interval which contained its real spectrum. Finally, we derived simple formulas for the first and second order approximations of the european put’s price and the model’s implied volatility curve, as we intended. Also, we offer illustrative graphical representations for a given set of parameters. As an extension we discuss briefly the price approximation for american puts through a maturity’s randomization procedure which is possible after determining the invariant distribution for these model’s volatility.